Transformando una matriz en una matriz escalonada.



Definición de matriz: Es un arreglo rectangular de números denominados elementos, ordenados en renglones (horizontal) y columnas (vertical).


Definición de matriz escalonada: Es aquella que tiene como primer elemento diferente de 0 de cada renglón el elemento unidad (1) y los elementos debajo de este deben ser 0.
Ejemplos:

Tipos de operaciones elementales para un matriz (utilizadas para obtener la matriz escalonada):
a) Intercambio de 2 filas.
b) Multiplicar una fila por un número k diferente de 0.
c) Multiplicar una fila por un número k diferente de 0 y sumárselo a otra fila.

Ahora veamos unos ejemplos utilizando transformaciones u operaciones elementales para convertir una matriz en una matriz escalonada.


Ejemplo 1. Convertir la siguiente matriz en una matriz escalonada.

Paso 1.- Operación elemental b: Lo primero que buscamos es convertir al primer elemento del primer renglón en uno, en la matriz anterior el primer elemento es 5 y lo convertimos en 1 multiplicando el renglón por 1/5, por lo que todos los elementos del renglón son afectados. El resultado lo vemos en el paso 2.

Paso 2.- Operación elemental c: Una condición de la matriz escalonada es que todos los elementos de bajo del primer 1 de cada renglón sean ceros, por lo que el primer elemento del tercer renglón debe ser cero, para este fin utilizamos la operación elemental c que anteriormente hemos definido, es decir multiplicamos cada elemento del primer renglón por menos uno sin afectarlos y se lo sumamos a cada elemento correspondiente del tercer renglón. Como vemos en el paso 3.

Paso 3.- Operación elemental b: Ahora buscamos que el primer elemento diferente de 0 del segundo renglón sea 1, en este caso el 6, para este fin lo multiplicamos por 1/6, así que la matriz queda como vemos en el paso 4.

Paso 4.- Operación elemental c: Ahora buscamos eliminar el elemento debajo del primer 1 del segundo renglón, para este fin multiplicamos el segundo renglón sin afectarlo por -2/5 y se lo sumamos al tercer renglón, es decir multiplicamos 1 por -2/5 y se lo sumamos a 2/5 que nos daría 0, luego multiplicamos 7/6 por -2/5 y se los sumamos a 6/5 que nos daría 11/15 como vemos en el paso 5.

Paso 5.- Operación elemental b: Ahora buscamos que el primer elemento diferente de 0 del tercer renglón sea uno, para ello multiplicamos el tercer renglón por 15/11 y listo, tenemos la matriz escalonada.

Ejemplo 2. Convertir la siguiente matriz en una matriz escalonada.

Finalmente la matriz escalonada de la matriz A sería la siguiente:

5 comentarios:

mirko dijo...
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
mirko dijo...

creo que te has equivocado en una partecita.. el resultado, en la fila 3 columna 5, es decir, el numero 77/107, debería ser -256/535

Oscar dijo...

mirko, creo que borre tú primer comentario sin querer, gracias por la corrección, lo voy a checar.

mensaje original: creo que te has equivocado en el resultado..
tendría que ser asi:

| 1 7/5 9/5 6/5 4/5 |
| 0 1 53/29 7/29 -12/29 |
| 0 0 1 89/214 -256/535 |

Anónimo dijo...

Creo que lo que tu defines como matriz escalonada es la forma de Hermite. Se puede escalonar (por ejemplo si solo queremos saber el rango) dejando como pivotes cualquier escalar y no solo unos.

Kelfox dijo...

gracias, me ayudaste mucho :)

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