Definición de matriz escalonada: Es aquella que tiene como primer elemento diferente de 0 de cada renglón el elemento unidad (1) y los elementos debajo de este deben ser 0.
Ejemplos:
Tipos de operaciones elementales para un matriz (utilizadas para obtener la matriz escalonada):
a) Intercambio de 2 filas.
b) Multiplicar una fila por un número k diferente de 0.
c) Multiplicar una fila por un número k diferente de 0 y sumárselo a otra fila.
Ahora veamos unos ejemplos utilizando transformaciones u operaciones elementales para convertir una matriz en una matriz escalonada.
Ejemplo 1. Convertir la siguiente matriz en una matriz escalonada.
Paso 1.- Operación elemental b: Lo primero que buscamos es convertir al primer elemento del primer renglón en uno, en la matriz anterior el primer elemento es 5 y lo convertimos en 1 multiplicando el renglón por 1/5, por lo que todos los elementos del renglón son afectados. El resultado lo vemos en el paso 2.
Paso 2.- Operación elemental c: Una condición de la matriz escalonada es que todos los elementos de bajo del primer 1 de cada renglón sean ceros, por lo que el primer elemento del tercer renglón debe ser cero, para este fin utilizamos la operación elemental c que anteriormente hemos definido, es decir multiplicamos cada elemento del primer renglón por menos uno sin afectarlos y se lo sumamos a cada elemento correspondiente del tercer renglón. Como vemos en el paso 3.
Paso 3.- Operación elemental b: Ahora buscamos que el primer elemento diferente de 0 del segundo renglón sea 1, en este caso el 6, para este fin lo multiplicamos por 1/6, así que la matriz queda como vemos en el paso 4.
Paso 4.- Operación elemental c: Ahora buscamos eliminar el elemento debajo del primer 1 del segundo renglón, para este fin multiplicamos el segundo renglón sin afectarlo por -2/5 y se lo sumamos al tercer renglón, es decir multiplicamos 1 por -2/5 y se lo sumamos a 2/5 que nos daría 0, luego multiplicamos 7/6 por -2/5 y se los sumamos a 6/5 que nos daría 11/15 como vemos en el paso 5.
Paso 5.- Operación elemental b: Ahora buscamos que el primer elemento diferente de 0 del tercer renglón sea uno, para ello multiplicamos el tercer renglón por 15/11 y listo, tenemos la matriz escalonada.
Ejemplo 2. Convertir la siguiente matriz en una matriz escalonada.
Finalmente la matriz escalonada de la matriz A sería la siguiente:
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ResponderEliminarcreo que te has equivocado en una partecita.. el resultado, en la fila 3 columna 5, es decir, el numero 77/107, debería ser -256/535
ResponderEliminarmirko, creo que borre tú primer comentario sin querer, gracias por la corrección, lo voy a checar.
ResponderEliminarmensaje original: creo que te has equivocado en el resultado..
tendría que ser asi:
| 1 7/5 9/5 6/5 4/5 |
| 0 1 53/29 7/29 -12/29 |
| 0 0 1 89/214 -256/535 |
Creo que lo que tu defines como matriz escalonada es la forma de Hermite. Se puede escalonar (por ejemplo si solo queremos saber el rango) dejando como pivotes cualquier escalar y no solo unos.
ResponderEliminargracias, me ayudaste mucho :)
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